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随机误差的处理

发布日期:2017-11-28 13:38:05 【关闭】
摘要:

   一、随机误差的特性与概率分布

   1.随机误差的特性
   大量实验信息表明,随机误差具有以下特性:
 (1)有界性。在多次测量中,随机误差的绝对值实际上不会超过一定的界限。
 (2)对称性。绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
 (3)抵偿性。在相同测量条件下对同一被测量进行多次测量,随机误差的算术平均值随着 测量次数的无限增加而趋于零,即随机误差在多次测量中有互相抵消的特性。
   抵偿性是随机误差最本质的统计特性。对于具有抵偿性的误差,原则上都可按随机误差处理。由于随机误差具有抵偿性,因此可通过多次测量取平均值的办法来削弱随机误差对测量结果的影响。
   此外,很多测量数据的随机误差具有单峰性,即绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的概率大。

   2.统计直方图
   设对某被测量在相同测量条件下进行多次独立测量(即等精密度多次测量),得到一系列测量值x1,x2...,xn。若测量中的系统误差已被消除,则各测量值中仅有随机误差gooxian-随机误差,将这些随机误差按它们的数值大小和符号进行整理,并将误差范围等分为适当数量(m)的区间,每一区间间隔为gooxian-间隔,误差落入每一区间的数目为gooxian-误差区间数目,则在某一区间内误差出现的频fi=ni/n。

   以误差值δ为横坐标,以概率密度(区间单位长度的频率)y= δ Δδ为纵坐标作图,得到的就是统计直方图,如图2.4所示。由纵、横坐标所代表参数意义及图形的做法可见,图2.4中每一小块矩形面积代表误差落入该区间的频率fi(fi =yiΔδ)。当测量次数n→ ∞,并取Δδ→dδ时,直方图的上边缘就形成一条光滑连续的曲线,称为随机误差概率密度分布曲线,可表达为随机误差δ的函数y = φ(δ),而随机误差落在dδ区间的概率为φ(δ)dδ。

gooxian-统计直方图

  

   对于上述测量数据x1,x2,…,xn,由于按所设条件只有随机误差,因此也可以用同样的方法作出类似的直方图,并得到测量数据的概率密度分布曲线φ(δ)。其形状与随机误差概率密度分布曲线完全相似,仅横坐标相差一个被测量的真值(A0),如图2.5所示。

    

gooxian-随机误差与测量数据概率分布

   因此,讨论随机误差和测量数据的分布时只须讨论其中的一种,而对另一种只须把横坐标移动一个位置即可,不再一一赘述。
   3.随机误差的概率分布
   随机误差的概率分布有多种类型,多数随机误差的概率分布服从正态分布。正态分布是古典误差理论的基础,且至今仍广泛应用,但也有不少随机误差服从各种非正态分布。
 (1)正态分布(Gauss分布)。由概率论的中心极限定理可知:如随机变量可表示为大量独立的随机变量之和,而每一个随机变量对于总和只起微小作用,则此随机变量服从正态分布。在多数情况下,随机误差是多种因素造成的许多小误差的总和,因而测量中随机误差的分布及在随机误差影响下测量数据的分布多数接近于正态分布。

   按正态分布的随机误差,其概率密度函数φ(δ)为

  

gooxian-密度函数

   式中 δ——— 随机误差;

   σ(δ)——— 随机误差分布的标准偏差;

   σ2(δ)——— 随机误差分布的方差。

   σ(δ)与σ2(δ)的意义将在统计特征中讨论。

   式(2.19)称为正态分布随机误差方程,简记为N(0,σ),表示δ的数学期望为0及曲线具体形状与σ(δ)有关。图2.6表示对应不同σ(δ)值的正态分布曲线。

gooxian-三个不同标准值的正态分布曲线

  如果用极限误差Δ 限定曲线的范围,得到的是截尾正态分布,其概率密度函数为

 

gooxian-概率密度函数

   截尾正态分布曲线如图2.7所示,这种分布不仅表现出随机误差普遍具有的三种特性(有界性、对称性、抵偿性),而且还具有多数随机误差所具有的单峰性。

  

gooxian-截尾正态分布曲线

   截尾正态分布可由正态分布转化而来。例如,误差本为正态分布的大批产品(仪器、元件、器件等)经产品检验后剔除了超过允许公差 ±Δ 的产品后,分布变成截尾正态分布。截尾正态分布是正态分布的简单变形,所以本书与正态分布一并讨沦。

  (2)均匀分布。均匀分布的随机误差也是常遇到的一种随机误差分布。其特点是误差均匀地分布在某一区域,在此区域内误差出现的概率密度处处相同,而在该区域以外误差出现的概率为零。式(2.21)表示误差分布区域为[-a,a]的均匀分布概率密度函数,简记为U[-a,a]。

  

gooxian-均匀分布概率密度函数

   其分布曲线如图2.8所示

 

gooxian-均匀分布曲线

   服从均匀分布的随机误差主要有:因仪器最小分辨力限制引起的误差;数字显示仪器因量化误差使显示结果产生末位1个数字的误差;测量仪器传动件的间隙、摩擦力等造成一定的灵敏阈引起的误差;数据处理中的舍入误差等。此外,当只能知道误差出现的大致围而对误差的分布并不了解时,也常把误差出现在这个范围内的分布按均匀分布来处理。

  (3)反正弦分布。反正弦分布常出现在角度、正弦振动等测量误差中。当被测量或误差与某一个量θ成正弦关系,而θ本身是均匀分布时,则出现反正弦分布。例如,圆分度盘几何中心与旋转中心有一偏心量e,则由分度盘指示角度时的误差为δ=esinθ,只要θ是在0°~360°中均匀分布的随机变量,则δ=esinθ表示的就是反正弦分布,简记为As[-m,m]。其分布密度函数及分布曲线分别如式(2.22)及图2.9所示。

 

gooxian-密度函数1

gooxian-反正弦分布曲线

   (4)其他非正态分布。除均匀分布、反正弦分布外,在实际测量中还可能遇到其他非正态分布的随机误差,例如,梯形分布与三角形分布 ——— 两个分布区域不同的均匀分布合成后是梯形分布,如图2.10所示。

  

gooxian-梯形分布曲线

   当两个均匀分布的分布区域相同(a1 =a2 =a)时,其和的分布则由梯形分布变为三角形分布,如图2.11所示。

  在各种用比较法的测量中,如测量结果由误差服从均匀分布的两次测量获得,当两次测量条件相同时误差将是三角分布,而两次测量条件有差异时误差将为梯形分布。

gooxian-三角分布曲线

   双峰形分布 ——— 概率密度分布大体上是 M 形。对于误差本来是正态分布的大批产品进行分档挑选后,常出现这种分布。例如,选出一批一级产品(其误差分布较紧靠零值附近)后,余下的产品误差在零值附近的概率就很小,所以误差在零附近的分布就会成为谷形凹陷。在多环节的仪器中,一些环节导致误差常偏正,而另一些环节导致误差常偏负,也可能使总误差出现双峰分布。

    还有一些其他分布的随机误差,如二项分布、泊松分布等,读者可参看有关资料,在此不再赘述。

   此外,在测量实践中也会遇到如何判断测量误差或测量值的分布问题,这要由分布检验来解决。其原理是由理论的研究或过去同类测量的经验假定误差或测量值为某一分布,再按检验方法进行检验,判断拒绝或不拒绝该分布。例如:适用于测量次数不多时进行正态性检验的夏皮罗 威尔克(ShapiroWilk)法;适用于测量次数较多(n>50)时进行正态性检验的达哥斯特(D′Agostino)法及可检验是否服从某一分布(不限于正态分布)的皮尔逊(Pearson)法。关于这方面的内容读者可参看文献[3,4,5,6]。

  

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