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测量误差的合成与分配

发布日期:2017-11-29 10:12:18 【关闭】
摘要:在实际测量中,误差常来源于许多方面,例如,由多个电阻串联而成的总电阻,其误差与每个电阻的误差有关:电阻上的功率P,若通过直接测量电压U 与I,而由P=UI计算出,其误差与U 和I的测量误差有关,测量结果的总误差是测量各环节误差因素共同作用的结果。由此看出,测量误差通常总是与若干分项有关。

   在实际测量中,误差常来源于许多方面,例如,由多个电阻串联而成的总电阻,其误差与每个电阻的误差有关:电阻上的功率P,若通过直接测量电压U 与I,而由P=UI计算出,其误差与U 和I的测量误差有关,测量结果的总误差是测量各环节误差因素共同作用的结果。由此看出,测量误差通常总是与若干分项有关。

   当某项测量误差与若干分项有关时,不论其产生的原因均称为总误差,而将与其有关的各分项叫做分项误差。

   在测量中,经常要讨论总误差与分项误差的关系,研究如何解决如下三个问题,这也是本节所要讨论的主要问题。

   (1)误差的合成问题。研究如何根据各分项误差确定总误差。

   (2)误差的分配问题。研究在总误差已限定的情况下如何确定各分项误差的数值。

   (3)最佳测量方案的选择问题。研究如何分配各分项误差的数值以保证总误差最小。

    一、测量误差的合成

   1.误差传递公式

    测量误差的传递关系可直接用于已知确定性误差的传递计算,并且是建立不确定度合成原则的基础。

 

gooxian-测量误差的合成

   式(2.67)是直接按定义计算误差传递的方法,适于单独分析某项误差因素对测量结果的影响,特别是对不能化为简单线性关系的问题更有意义。但这种方法没有给出简明的传递关系,实用上较繁琐,若用于分析多因素的影响,缺点更为突出,因而有一定的局限性。

   例2.18 设矩形长为x,宽为y,矩形面积S=xy,通过测量测得长、宽值分别为x′和y′,测量误差分别为 Δx和 Δy,如图2.24所示。求因测量误差引起的面积的误差ΔS。

  解 由测量值得到的矩形面积S′ =x′y′,按式(2.67)得 ΔS =S′-S =x′y′-xy = (x+Δx)(y+Δy)-xy =xΔy+yΔx+ΔxΔy即 ΔS为3项之和,分别对应于图中画有阴影线的3块小面积。

  

gooxian-矩形

   2.系统误差的合成

   对于确定性系统误差,可直接用绝对误差传递公式或相对误差传递公式求得总误差。

    对于各分项系统误差不能确定的情况,将在不确定度的合成中讨论。

   3.随机误差的合成

   随机误差的合成不是以某一次测量各分项随机误差的合成来考虑,而是以各分项方差 σ2(xi)或标准偏差σ(xi)求总合方差σ2(y)或总合标准偏差σ(y)。

   设各分项的系统误差为零,并设总合与各分项间是线性关系(或非线性关系产生的影响可以忽略不计),则由各分项的随机误差可求得总合的误差

  

gooxian-随机误差1

     

 

   式(2.72)表示由m 项相互独立的分项随机误差求总合的关系,对非独立的分项是不适用的,因为式(2.72)的导出,假定了互相独立的条件。因此,一般应尽量先将函数关系化成独立量的函数关系再应用此式。

   例2.24 设y=x1 +x2,而x1 =3x2,若已知各分项仅含随机误差,其标准偏差分别为 σ(x1)和σ(x2),求σ(y)。

   解 此题所给出的2个分项x1 和x2 是相关的,若在计算时不考虑相关或最后再考虑,将导致错误的结果。

  (1)错误的方法。直接用式(2.72)得

gooxian_随机误差3

   (2)正确的方法。先考虑相关

  

gooxian-随机误差4

   显然两种计算方法所得结果不同。

   4.不确定度的合成

   关于不确定度的概念已在2.6节中提及,这里进一步加以说明与讨论。对随机误差来说,它总是在一个范围内随机变化的,其最大幅度称为不确定度,通常用标准偏差的若干倍表示。对于系统误差,有确定性的系统误差,即已掌握了它的大小和方向,但也有只知道大体范围的非确定性系统误差,其可能变化的最大幅度也称为不确定度。一般随机误差的不确定度是由统计规律估计出的,系统误差的不确定度由其他方法估计出,所以曾广泛使用系统不确定度与随机不确定度这两个名词。但是,随着科学技术的发展对两种误差规律的深入认识及对它们之间辩证关系的理解,发现以上所说的两种不确定度都有可能用上述估计方法估计其数值,其间并无对应关系。为此,1981年国际计量委员会提出建议:“测量结果的不确定度一般包含好几个分量,这些分量可以按估计其数值所用的方法归并成两类:A———(对一系列重复的测定)用统计方法算出的分量;B——— 用其他方法计算出的分量。”并提出:将不确定度区分为 A 类和 B类,以及按过去的方法将不确定度区分为“随机的”和“系统的”不确定度,这两者之间并不一定存在一种简单的对应关系。“系统不确定度”这一词可能引起误解,故应避免使用。国际计量委员会的建议对一般工程应用来说是合适的。但是“系统不确定度”这一名词对误差理论的讨论与研究部门来说仍有必要,所以我国国家计量局的常用名词术语定义中,除有A和B两类不确定度外,仍保留了系统不确定度与随机不确定度的划分。本教材为叙述的方便也将同样处理。

   由系统误差和随机误差构成的测量总误差也会在一定范围内变化,其变化的最大幅度称为总误差的不确定度。不确定度是对应一定的置信概率来说的,即误差最大变化范围有多大可能性不超过不确定度所规定的范围。

   由分项不确定度求总合不确定度的问题,国内外意见纷纭,有很多争论,此处仅讨论一些基本的常用方法。

  (1)系统不确定度的合成。系统不确定度的合成方法很多,现主要介绍三种常用系统不确定度的合成方法。为便于表达,以Φ 表示系统误差不确定度。

   1)绝对值合成法。绝对值合成法从最不利的情况考虑,认为各分项误差同时取正值或同时取负值,所以

  

gooxian-不确定合成

   这种方法计算简便,但估计偏大,偏于保守。当分项 m 较多时,偏离实际情况较远。例如, m =8 时,每一个分项取正号的概率为 1/2,8 个互相独立的分项均取正号的概率只有gooxian-概率(同时取负号的概率也如此),再考虑到不确定度都取最大值则其概率更小。所以这种方法一般只用于分项不确定度较少的情况。

   2)均方根合成法(方和根法)。

gooxian-均方根合成法

   这种方法(当分项 m 较少时,对误差估计偏低)一般用于要求不太严格的场合。

  3)广义均方根合成法。仿照处理随机误差的方法来处理系统误差。知道分项系统误差分布形状和不确定度Φj,可仿照随机误差中标准偏差σ(xj)与置信区间的关系,对系统误差定义一个类似于标准偏差的表征项u(xj),即

 

gooxian-广义均方根合成法

  

  表 2.7 几种常见的对称分布的Ki 值

gooxian-几种常见的对称分布的K1值

    (2)同时含有系统误差与随机误差时不确定度的合成。先将分项系统误差中的确定部分和非确定部分分开,确定性系统误差按前述方法总合;再将非确定性系统误差与随机误差共同估计总合不确定度。

gooxian-确定性系统误差

   式中 xk ——— 含确定性系统误差的分项;

 

gooxian-确定性误差1

   二、测量误差的分配

   当总误差给定后,如何确定各分项误差的大小,对于制定测量方案、仪器设计等都具有重要意义。但由总误差求各分项误差时,原则上有无穷多个解,一般只能在某些假设前提下进行典型分析。常用的有以下三种方法。

  1.等准确度分配法分配给各项的误差彼此相同,即

 

gooxian-等准确度分配法

   等准确度分配法常用于各分项性质相同、大小相近的情况

   三、最佳测量方案的选择

   对实际测量来说,最佳测量方案是在一定条件下测量准确度最高、误差最小的方案。即

 

gooxian-最佳测量方案

 

   虽然从式(2.85)和(2.86)可看出,只要各分项的误差最小,即可使总误差达到最小,但分项误差由一定的客观条件所决定。所以选择最佳方案的方法一般只能按现有条件,根据各分项误差可能达到的最小数值,然后比较各种可能的方案,选择合成误差最小的作为最佳方案。

  

  

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